Théorie de la coalescence Modèle rétrospectif de Génétique des populations dont l'objectif est de suivre l'évolution de tous les Allèles d'un Gène donné de tous les individus d'une Population, jusqu'à une seule copie ancestrale.
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• on appelle cette copie ancestrale l'ancêtre commun le plus récent
• les relations d'hérédité entre les Allèles sont représentés par un arbre \(\mathcal T_n(t)\) similaire à un Arbre phylogénétique, appelé coalescent
    
• mathématiquement, un coalescent est représenté par un Processus de Markov \((\Pi(s),s\geqslant0)\) à valeurs dans l'ensemble des Partitions \(\mathscr R_t\) de \([\![1,n]\!]\)
        
• un bloc de \(\Pi(s)\) représente une lignée à l'instant \(t-s\), et il contient l'ensemble de ses lignées descendantes à l'instant \(t\)
        
• pour cette modélisation, \(i\) et \(j\) sont dans le même bloc de \(\Pi(s)\) si et seulement si les \(i\)-ème et \(j\)-ème individus de la population à l'instant \(t\) ont le même ancêtre au temps \(t-s\)
            
• les transitions sont données par : \(q_{\xi \eta}=\) \(\Bbb 1_{\xi\prec\eta}\) et \(q_\xi=\) \(\frac12\lvert\xi\rvert(\lvert\xi\rvert-1)\)
                
• \({\Bbb P}(\mathscr R_{k-1}=\eta\mid\mathscr R_k=\xi)=\) \(\Bbb 1_{\xi\prec\eta}\frac2{k(k-1)}\)
                    
• la probabilité d'être dans l'état \(\xi\) lorsqu'il ne reste que \(k\) lignées est donnée par : $${\Bbb P}(\mathscr R_k=\xi)=\binom nk^{-1}\frac{(k-1)!}{(n-1)!}\lvert\xi_1\rvert!\,\lvert\xi_2\rvert!\,\dots\lvert\xi_k\rvert!$$avec \(\xi_1,\dots,\xi_k\) les sous-ensembles de \(\xi\)
                
• la Nombre de lignées dans un coalescent \((D_t,t\geqslant0)\) est donc également un Processus markovien de sauts : c'est un Processus de mort pur de taux \(q_{kl}=\frac12k(k-1)\Bbb 1_{l=k-1}\)
    
• on appelle également coalescence le phénomène de fusion de deux lignées
• cette théorie est principalement attribuée à John Kingman

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Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Comment est définit un \(n\)-coalescent dans le papier original de Kingman (1980) ?
Verso: C'est un Processus markovien de sauts \(\{R_t,t\geqslant0\}\) sur l'ensemble \(\mathcal E_n\) des Relation d'équivalences sur \([\![1,n]\!]\), dont le Générateur infinitésimal est donné par : $$q_{\xi \eta}=\begin{cases}1&\text{si}\quad\xi\prec \eta\\ 0&\text{sinon.}&\end{cases}$$où \(\xi\prec \eta\iff\xi\supset\eta,\lvert\xi\rvert=\lvert\eta\rvert+1\).
(Processus de naissance et de mort sans naissances)
Bonus:
Carte inversée ?:
END
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Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Expliquer pourquoi l'étude de \((L_n(t),t\geqslant0)\) (correspondant à la somme des longueurs des branches dans l'arbre) est intéressante.
Verso: Si on suppose que les Mutations arrivent avec un taux constant \(\theta\), alors \(L_n(t)\) est \(\approx\)proportionnel au nombre de Mutations distinctes observées dans la population à l'instant \(t\).
Bonus:
Carte inversée ?:
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